CRM это зонтичный термин, который покрывает массу подходов и решений. В принципе в школах, обычных, что-то используют, всякие "электронные дневники".
Самый первый нюанс, серьёзный, это "персональные данные" и законодательство с ними связанное. Нельзя просто так собирать массу личных данных в одной системе, это ведь и всякие сведения о здоровье, кто чем когда болел и какие травмы получал, у кого какие родственники, сведения о них и их контакты, даже банальные посещения занятий. При этом CRM подразумевает сетевой доступ массы людей.
Второе, это в любом случае надо разрабатывать, готовых решений нет, платформы, на чём это делают, коммерческие в основном, особенно если надо стыковать с (1)
Третье, это довольно сложные системы, их сложно администрировать, надо политики доступа к чтению-изменению данных прописывать, и много чего ещё. Вы утонете, как только начнёте всё это прописывать.
На самом деле надо исходить из задач. Надо взять листик бумаги и просто выписать, какие конкретно задачи вы хотите решать с помощью системы и как это будет выглядеть. Вполне может быть, что единственная задача это "внедрить инновацию", в то время как она реально не нужна, а проблем при этом добавляет.